مشكلة الزمن في الجاذبية الكمومية

كيف ينشأ الزمن ؟
ليكن لدينا كون به جسيم واحد فقط، في كون كهذا، لا يمكن تعريف زمن بسبب عدم مقدرتنا على تعريف ساعة فيزيائية نقيس بها الزمن، و المقصود بالساعة : القدرة على قياس التغير، و هذه الساعة كي تتوفر يجب أن نعّرف صفة معينا لهذا الجسيم يمكن قياس تغيرها – مع الزمن- بمقارتنها مع مقياس يحمل نفس الصفة.
ولو أخذنا هذه المرة كونًا به جسيمين  ربما يتراءى للبعض أنه من الممكن تعريف زمن في هذا الكون، ولكن أيضا في هذا الكون لا يمكننا تعريف ساعة، و يتضح ذلك من خلال النقاش التالي:
لنفترض أن الصفة التي نريد قياس تغيرها -مع الزمن- هي المسافة النسبية بين الجسيمين في هذا الكون . إن أي تغير للمسافة بين هذين الجسيمين يمكن اعتباره تغيرا للمقياس  Gauge transformation  و ليس تغير ديناميكي حقيقي نعرف من خلاله " ساعة" ، لأنه بالإمكان اعتبار المسافة الابتدائية بين الجسيمين مثلا، مترا واحدا، ثم إن حصل تغير لهذه المسافة، يمكن إعادة تعريف " المتر" مجددا لانه لا توجد وسيلة لضبط هذا المقياس ( أي تعريف ثابت للمتر في هذا الكون).
أما إن أخذنا كونًا به ثلاثة جسيمات ( فأكثر)، حينها نستطيع تعريف ساعة فيزيائية، بضبط المقياس و ذلك مثلا بجعل المسافة بين الجسيمين الأول و الثاني مسافة ضابطة للمقياس يمكننا بالمقارنة قياس مدى تغير المسافات الأخرى مع الزمن، و بهذا يصبح بالإمكان القول إن تغير المسافات بين الجسيمات الثلاثة، أو الأكثر هو تغير ديناميكي حقيقي.
و بهذا يمكننا القول بأن الزمن ينشأ من تعريف مقياس، ثم تعريف ساعة فيزيائية من خلال هذا المقياس المضبوط، لقياس التغيرات الديناميكية. و لتحقيق هذا يلزمنا كون به ثلاث جسيمات على الأقل، أو بالأحرى، يلزمنا تقسيم الكون لثلاث أنظمة جزئية فأكثر لنستطيع تعريف الزمن لهذا الكون.
مشكلة الزمن في الجاذبية
في النسبية العامة، نتعامل مع الزمان و المكان على أنهما كينونة واحدة تكون منطوية  manifold بها خاصية تناظر ( عدم تغير) بالنسبة لتحويل الإحداثيات تعرف بـ Diffeomorphism invariance  ، و بسبب هذه الخاصة، يعامل الزمن بنفس الطريقة التي يعامل بها المكان تماما، و ليس كمعامل تغير ديناميكي، لآن تغيير الإحداثيات من جملة إحداثيات إلى أخرى لا يغير من الوصف الفيزيائي، و ربما تكون هذا التحويل يغير من احداثي الزمن في الجملة الأولى، إى آخر مكاني في الجملة الثانية.
بسبب تكافؤ الزمان و المكان في النسبية العامة، يمكن اعتبار الزمكان كما يدرس في النسبية العامة على أنه يٌدرس من قِبل رياضي  mathematician يعيش خارج الزمكان .بينما لا يستطيع الفيزيائي العيش خارجه و جراء تجارب عليه، لذلك يمكننا القول أن التناظر بالنسبة لتحويل الإحداثيات هو خاصية يتمتع بها الرياضييون فقط دون الفيزيائيين !

الفيزيائي الذي يعيش في الزمكان و يجري " تجاربه" هنالك، لا يستوعب خاصية التناظر بالنسبة لتحويل الإحداثيات، لأنه يسير دائما على مسار جيوديسي ( أو نحوه) داخل الزمكان، و لديه أيضا علاقات سببية تتحقق من خلال المخروط الضوئي  light cone.  و بهذا – و على عكس الرياضي- الفيزيائي غير قادر على دراسة الزمكان ككل، بل يتحتم عليه دراسة جزء منه، و  هو الجزء الذي يقع داخل مخروطه الضوئي فقط. أما ما يقع خارجه فلا يوجد لدي الفيزيائي أي وسيلة لإختباره و إجراء تجارب على الفيزياء خارج المخروط الضوئي.

 
إن معادلات حقل أينشتاين الخاصة بالنسبية العامة:

 
هي معادلات يكتبها الرياضي، لا زمن ديناميكي بها. و حتى إن أردنا كتابتها بشكل يتم فصل الزمان على المكان  يتم ذلك بشكل اعتباطي كما يتم تقطيع قطعة من الخبز بشكل اعتباطي دون وجود اي فرق في النتيجة النهائية بعد هذا التقطيع.
لفصل الزمان عن المكان في النسبية العامة، يتم اختيار" اتجاه" للزمن بشكل اعتباطي ثم تقطيع الزمكان لشرائح مكانية ثلاثية الأبعاد تعرف هذه العملية بال  foliation / Feuilletage
 يتم بعدها دراسة ديناميك  الهندسة الخاصة بالشريحة المكانية ثلاثية الأبعاد.  يعرف هذا بـ  ADM-formalism  ، و لكن بسبب ال  Diffeomorphism invariance  لا يعتبر هذا الديناميك تطور حقيقي في الزمن و لا يوجد تابع هاملتوني  Hamiltonian  يصفديناميك حقيقي، بل يوجد لدينا عدد لا نهائي من القيود الهاملتونية  Hamiltonian constraint  الذي يجب أن تنعدم كي يتحقق شرط التناظر الآنف ذكره.

تكميم القيود الهاملتونية، و تطبيقها على تابعي- موجي للكون  universe wavefunctional  يؤدي لظهور معادلة ويلر-دي ويت Wheeler deWitt equation

إن ما قورنت معادلة ويلر-دي ويت بمعادلة شرودنجر الخاصة بميكانيك الكم،

نرى أن معادلة ويلر-ي ويت الخاصة بالجاذبية الكمومية لا تحتوي على زمن ديناميكي، هذا ما يعرف بمشكلة الزمن The problem of time
إن الحقيقة مشكلة الزمن في الجاذبية الكمومية هي حقيقة تأتي من واقع دراسة الكون ككل، كجملة فيزيائية واحدة ، بشكل يشابه دراسة كون به جسيم واحد فقط .
لنأخذ مثلا معادلات فريدمان التي تدرس  توسع الكون ، يُظن خطأ، و يذكر في المراجع أيضا، أن هذه المعادلات تصف تطور الكون مع الزمن و لكنها في الحقيقة ليست إلا تحويلات في المقياس  gauge transformation.
إذا، فإن المشكلة الحقيقة لل ADM formalism  هي دراسة الهندسة ثلاثية الأبعاد ككل و اعتبارها نظام ديناميكي واحد، و هذا بالطبع سيؤدي لغياب تعريف ساعة فيزيائية و غيار مفهوم الزمن ، كما ذكرنا سابقا.
إن دراسة الكون ككل يجب أن تكون دراسة إحصائية ، أو ديناميكية حرارية في حالة الاتزان هذا ما قد بينه الفيزيائي تيد جاكبسون  Ted Jacobson  حيث أثبت أنه بالامكان استنتاج معادلات حقل أينشتاين من القانون الثاني للديناميك الحراري.
مما يفسر غياب الزمن في معادلات حقل أينشتاين كونها معادلة مشتقة من القانون الثاني ، أن دراسة  متوسط مجموعة من الأنظمة  Ensemble average   تكافئ دراسة متوسط سلوك نظام واحد في فترة طويلة من الزمن Time average.
إذا يمكننا تلخيص مشكلة الزمن في الجاذبية الكمومية بالنقاط التالية:
أولا: اعتبار الكون ككل النظام المدروس ، مما يؤدي لغياب مقياس للتغير و بالتالي غياب الزمن.
ثانيا: دراسة الكون من منظور خارجي ، أو رياضي بحت، مما يؤدي لظهور ال diffeomorphism invariance  بينما في الحقيقة لا يوجد ماهو خارج الكون، أو عدم مقدرة الفيزيائي إجراب التجارب على الكون ككل لغياب ما ينفاعل مع الكون ( أو إن وجد فهو لا يعنينا كفيزيائيين).
ثالثا: الدراسة الحقيقة للكون و هندسته يجب أن تكون من قبل " فيزيائي" يدرس جزءا من الكون و يتفاعل معه ( أي ما يقع داخل المخروط الضوئي لخاص به).
رابعا: ميكانيك الكم لا يمكن أن تعطي نتائج دون وجود الزمن لأن التابع الموجي بحاجة للقياس .
خامسا: تبدو معادلات حقل أينشاين كمعادلات حرارية أو إحصائية ، في حالة اتزان لذلك يغيب عنها الزمن بشكل طبيعي و لا تصلح للتكميمبحد ذاتها ( كما القانون العام للغازات مثلا). بل يجب تعريف الحالات و الأنة الجزئية لها و كميمها بدلا عن الأولى.
 
References
  المراجع
 
1- Thiemann, Thomas. Modern canonical quantum general relativity. Cambridge University Press, 2007.
2- Isham, Chris J. "Canonical quantum gravity and the problem of time." Integrable systems, quantum groups, and quantum field theories. Springer Netherlands, 1993. 157-287.
3- Thiemann, Thomas. "Solving the Problem of Time in General Relativity and Cosmology with Phantoms and k--Essence." arXiv preprint astro-ph/0607380(2006).
4- Thiemann, Thomas. "Reduced phase space quantization and Dirac observables." Classical and Quantum Gravity 23.4 (2006): 1163.
5- Kiefer, Claus. "Quantum gravity—a short overview." Quantum gravity. Birkhäuser Basel, 2006. 1-13.
6- Rovelli, Carlo. "Loop quantum gravity." Living reviews in relativity 11.1 (2008): 5.
7- Alsaleh, Salwa, et al. "Quantum no-singularity theorem from geometric flows." arXiv preprint arXiv:1705.00977 (2017).
8- Alsaleh, Salwa, et al. Quantum geometric flows and implications to quantum gravity." arXiv preprint (2017)